Menghitung Nilai Periode Ulang Gempa Bumi dengan Distribusi Weibull

Kemungkinan terjadinya gempabumi pada selang waktu t  dan t + t adalah  l(t) dan oleh Weibull dinyatakan dalam formula:

                                    l(t) = k tm ……………………………..(9.1-1)

k dan m adalah konstanta dimana k > 1 dan m > -1. Probabilitas kumulatif kejadian gempabumi antara waktu nol dan t yang diberi notasi F(t) dengan reliabilitas R(t) didefinisikan sebagai :

                                    R(t) = 1 – F(t), dan

                                   

                                    R(t) = exp.( - ò (t) dt

                                           = exp.  {- (kt m+1)/ (m+1)}………..(9.1-2)

Sedang probabilitas densitas dari suatu kejadian gempabumi dirumuskan sebagai berikut:

                                    f(t) = - dR(t)/dt

                                         = k tm exp.{- (kt m+1)/ (m+1)} ……(9.1-3)     

Dengan cara momen ke r suatu perubah acak t dinotasikan sebagai Mr, yaitu nilai peluang t pangkat ke r, dengan r = 1,2,3,……n; maka diperoleh bentuk sebagai berikut:

                                                            ~

                                    Mr = E(t r) =  ò t f r (t) dt

                                               ~       o

                                          = ò k tm+r exp.{- (kt m+1)/ (m+1)}dt ……(9.1-4)

                                            o

Jika: (kt m+1)/ (m+1) = X  dan t m+1 = {(m+1)/k }X, maka

                                    t =  [{(m+1)/k }X ] 1/(m+1)  ………………..(9.1-5)

selanjutnya diturunkan ke dx/dt diperoleh:

                                    {k/(m+1)} (m+1) tm dt = dx ……………….(9.1-6)

dimana                                    dt = dx / k tm 

                                    dt = dx / k [{(m+1)/k}x]m/(m+1)     

akan didapat:

Mr = E(t r) =  {k/(m+1)}-r/(m+1) ò X(m+r+1)/(m+1) -1 exp.(-x) dx      …(9.1-7)

dimana : ò X(m-1) exp.(-x) dx = m ; m>0

akhirnya diperoleh:

                        Mr = E(t r) = {k/(m+1)}-r/(m+1) {(m+r+1)/m+1)} ….(9.1-8)

Didapat rumusan periode ulang gempabumi sebagai berikut:

Untuk r = 1;

                        M1 = E(t) = {k/(m+1)}-1/(m+1) {(m+2)/m+1)}  ……(9.1-9)

Untuk r = 2;    M2 = E(t) = {k/(m+1)}-2/(m+1) {(m+3)/m+1)} …….(9.1-10)

Simpangan baku rata-rata periode ulang gempabumi adalah:

                        SD = {E(t2) - E2(t)}1/2    …………………………..(9.1-11)